III. REAL SPACE GAUGE FIELDS IN GRAPHENE

앞의 섹션에서, 우리는 공간적으로 불균일한 자기장 내에 놓여있는 spin 1/2 system에 대해 공부했다. 해당 섹션에서 spin eigenstate가 adiabatic transport를 할 때 결과적으로 $\vec{B}$-space, 더 나아가 $\vec{r}$-sapce에서의 Berry gauge field를 도출한다는 것을 알아냈다. 이 Berry gauge field는 spin-dependent Lorentz force, 그리고 Berry phase처럼 물리적으로도 중요하다.

해당 섹션에서, 우리는 $\vec{r}$-space에서의 gauge field를, 특히 그래핀 시스템에서 이를 살펴볼 것이다. 이 그래핀은 Berry potential과는 좀 다른 origin을 갖는데, 특히, 그래핀에서의 gauge field는 adiabatic  transport와는 연관되지 않으며 이를 필요로 하지도 않는다. 대신에, it arises when we model the effect of strain in the graphene lattice. 우리가 강조하고 싶은 점은 모든 gauge potential들이 Berry-like 하지는 않는다는 것이다. (우리는 이에 대해 5장에서 더 자세히 살펴볼 것이다). 하지만, 여러 관점에서 봤을때, 그들의 물리적 결과들은 Berry curvature의 것과 미러링 하듯이 비슷하다(예를 들어 Hall effect를 발생시키는 induced Lorentz force같은..)

A. 그래핀 입문

그래핀 그래파이트

 

 

3. Edge States

Strain-induced gauge fields는 결과적으로 valley dependent magnetic field $\vec{B}^{S}$를 만들어냄을 배웠다. 흥미롭게도, 이러한 effective magnetic field는 $\sigma^z$ tem을 통해 pseudospin과 커플링 되며, pseudospin의 polarization을 만들어낼  수 있다. Gague fields가 어떻게 pseudosppin과 커플링 되는지 보기 위해, 우리는 strain이 있는 system의 Hamiltonian을 제곱해보겠다.

위 식에서 우리는 Zeeman-like term (~$\sigma^z B^S$)이 $K$ valley와 $K'$ valley에서 같은 부호를 갖는다는 것을 알 수 있으며, 이는 알짜 psueospin polarization의 존재를 나타낸다. 반대로, Zeeman-like term (~$\sigma^z B$)로 나타나는 실제 외부 자기장 $\vec{B}$는 두개의 Hamiltonain에서 서로 다른 부호를 가지며, 알짜 pseudospin polariztion이 0임을 암시한다. 물론, 실제 자기장 $\vec{B}$는 실제 스핀의 finite polarization을 만들 것이지만, 이 polarization은 그래핀에서의 작은 Zeeman splitting 때문에 무시할 수준 일 것이다. $vec{B}^S$의 pseudospin polarizing nature는 그래핀 strip에서의 edge state의 characterization을 가능케 한다. 유한한 크기의 그래핀 샘플은 edge가 존재함에 따라 끊어지며, 이 edge에는 zig-zag type, 그리고 armchair type 두개의 edge가 존재한다.

 

Zig-zag edge의 경우, 우리는