책 정리/양자역학 (송희성)14 12.1) Relativistic correction & spin-orbit correction The real hydrogen atom should consider relativistic correction and spin-orbit interaction. Relativistic correction ( $\rightarrow$ spin dependent) where Spin-orbit correction real magnetic field가 없는 경우라면 (이때 gamma는 c >> v_orbit 이므로 1로 approx할 수 있다.) 여기서 아래의 식을 이용해 spin-orbit interaction의 Hamiltonian에 대해 풀어 쓰면 아래와 같이 변한다. 이때 $\phi$는 다음과 같으므로 spin-orbit interaction의 Hamiltonian becomes -> 맨 앞에 1/2.. 2023. 6. 2. 16.1) Aharonov-Bohm effect 1. Adiabatic Process Gauge transformation을 할 때, verctor potential과 wave function이 변화한다. 이때 wave function은 phase transition만 실현되므로, 우리가 관측하는 물리량은 불변이다. 즉, physics는 Gauge invariant라 할 수 있다. 하지만 만약, wave function이 두 개 이상인 경우에는? 이때는 relative phase가 중요하므로, phase에 대해 더 생각해야 한다. Claim: particle이 magnetic field region 밖에서 운동해도 field와 interaction 한다. (via $\vec{A}$) 다음의 phase transformation 생각하자. such th.. 2023. 6. 1. 16.3) The constant magnetic field Non-relativistic QM에서는 EM field의 Hamiltonian에서 Coulomb gauge ($\vec{\nabla}\cdot \vec{A}=0$)를 선택한다. Then, 이때 아래처럼 식을 전개하면 이 때 vector potential의 divergence는 0임을 이용하여 소거하고 원래 식에 대입하면 Constant magnetic field $\vec{B}$에 대하여, $\vec{A} \equiv -\cfrac{1}{2}\vec{r} \times \vec{B}$라 하면 더보기 * $\vec{A} = -\cfrac{1}{2}\vec{r} \times \vec{B}$가 선택될 수 있는가 보자. 1. $\vec{B} = \vec{\nabla}\times \vec{A}$? Using Ei.. 2023. 6. 1. 14.2) Effects of electron-electron repulsion 수소원자에서는, Coulomb force에 더해 electron-electron repulsion을 고려해야 한다. 이 두 힘은 order of magnitude가 비슷하기에 perturbation을 원래 쓰면 안된다. 하지만 한번만 perturbation으로 가정하고, energy correction을 구해보고자 한다. 이때 $/phi$ 함수는 아래와 같으므로, 위 식에서 angular part를 잠깐 보면 여기서 $ r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_1r_2cos\theta \equiv t $로 놓으면 아래와 같이 치환 시킬 수 있다. 이 경우 energy shift는 아래와 같다. 수소 원자의 경우 Z=2 이므로, $\Delta E \sim 34eV $이고, 그러므로 최종적인 E는 약 -74.. 2023. 5. 30. 12.3) The anomalous Zeeman effect 수소 원자를 균일한 자기장에 넣었을 때, 자기장에 의한 Hamiltonian은 다음과 같다. 만약 스핀을 고려하지 않는다면, 실제로는 $\vec{L}=0$인 경우에도 energyshift가 발생한다. 이를 anomalous Zeeman effect라 하며, 이는 spin angular momentum에 의한 것이다. 이제 스핀을 고려한 경우에 자기장에 의한 Hamiltonian을 생각하자. * Order of magnitude 구하여 perturbation hierarchy 고려해야 한다. (perturbation의 eigenstate와 연관되기에 중요) 일반적으로 $ \hat{H}_{SO} \simeq \hat{H}_{Re} \gg \hat{H}_{B}$ 이므로, 위의 Hamiltonian $\hat{.. 2023. 5. 29. 이전 1 2 다음
