12.1) Relativistic correction & spin-orbit correction

The real hydrogen atom should consider relativistic correction and spin-orbit interaction.

• Relativistic correction ( $\rightarrow$ spin dependent)

where

 

• Spin-orbit correction

$\vec{B}'$: 전자가 정지한 frame, $\vec{B}$: lab frame

real magnetic field가 없는 경우라면 (이때 gamma는 c >> v_orbit 이므로 1로 approx할 수 있다.)

여기서 아래의 식을 이용해 spin-orbit interaction의 Hamiltonian에 대해 풀어 쓰면

아래와 같이 변한다.

이때 $\phi$는 다음과 같으므로

spin-orbit interaction의 Hamiltonian becomes

-> 맨 앞에 1/2는 Thhomas precession (spin 자체의 precession)
-> L*S 항이 있으므로, L, S 각각은 좋은 quantum number가 더 이상 아니다. 하지만 J는 good quantum number.

 

=> Relativistic과 spin-orbit은 같은 order => 동시에 perturbation 고려 필요

 

 

Relativistic correction의 first order perturbation theory를 보면

이때 아래의 original Hamiltonian을 대입하면

First order perturbation theory의 Hamiltonian은 다음과 같이 쓸 수 있다.

Then, energy correction becomes

$\cfrac{1}{r}, \hat{\mathcal{H}}_o$는 서로 commute 하므로

 

이제 spin-orbit interaction을 보면

* 이때 quantum number로 total angular momentum number $ j = l \pm 2 $를 이용해야 한다. 

Then,

Also,

 

Let's use total angular momentum as basis (because of spin-orbit interaction)

결과적으로

이제 실제 energy splitting을 구해보자.

$ j = l +\frac{1}{2} $인 경우만 보면,

Then, we can write

In summary,