16.1) Aharonov-Bohm effect

1. Adiabatic Process

 

Gauge transformation을 할 때, verctor potential과 wave function이 변화한다. 이때 wave function은 phase transition만 실현되므로, 우리가 관측하는 물리량은 불변이다. 즉, physics는 Gauge invariant라 할 수 있다.

하지만 만약, wave function이 두 개 이상인 경우에는?

이때는 relative phase가 중요하므로, phase에 대해 더 생각해야 한다. 

 

Claim: particle이 magnetic field region 밖에서 운동해도 field와 interaction 한다. (via $\vec{A}$)

다음의 phase transformation 생각하자.

such that

맨 아래 식의 첫번재 항이 0이 되어야 우리가 원하는 phase transformation이 된다. That is

Shielding 밖에서는 $\vec{\nabla}\times \vec{A} = 0 $이므로, 위의 선적분은 path independent 하다.

그러므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

결과적으로 transformation 이후에는 vecgtor potential이 없는 system이 된다. 이 경우(?) 어떤 경로를 지나든 $\vec{B}$만 안지나면 모두 solution이 $\psi ' $이 된다. Then,

이때 경로가 magnetic field region을 지나는 순간 $\Lambda$의 값이 달라진다. 즉, $\vec{\nabla}\times \vec{A} \ne 0 $ 이므로 path dep => TOPOLOGY

이제 서로 다른 두 경로를 지나는 경우를 생각해보자.

이 두 파동함수를 더하면

$\Lambda_2 - \Lambda_1$에 대해 조금 더 보면

자기장 영역을 지나지도 않았는데 자기장 내의 magnetic flux와 연관된다 -> Berry phase와 이어짐