16.3) The constant magnetic field

Non-relativistic QM에서는 EM field의 Hamiltonian에서 Coulomb gauge ($\vec{\nabla}\cdot \vec{A}=0$)를 선택한다.

Then,

이때 아래처럼 식을 전개하면

이 때 vector potential의 divergence는 0임을 이용하여 소거하고 원래 식에 대입하면

Constant magnetic field $\vec{B}$에 대하여, $\vec{A} \equiv -\cfrac{1}{2}\vec{r} \times \vec{B}$라 하면

* $\vec{A} = -\cfrac{1}{2}\vec{r} \times \vec{B}$가 선택될 수 있는가 보자.

1. $\vec{B} = \vec{\nabla}\times \vec{A}$?   

 Using Einstein convetion,

   Using the fact that $B_m$ is constant,

2. $\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0 ?

   즉, uniform magnetic field에서는 Coulomb gauge 선택할 때 $\vec{A} = -\cfrac{1}{2}\vec{r}\times\vec{B} $ 선택 가능.

 

우항의 두번째 항은 다음과 같이 변형되고

$\rightarrow$ orbital angular momentum과 연관

 

우항의 세번째 항은 다음과 같이 변형된다.