12.3) The anomalous Zeeman effect

수소 원자를 균일한 자기장에 넣었을 때, 자기장에 의한 Hamiltonian은 다음과 같다.

만약 스핀을 고려하지 않는다면,

실제로는 $\vec{L}=0$인 경우에도 energyshift가 발생한다. 이를 anomalous Zeeman effect라 하며, 이는 spin angular momentum에 의한 것이다. 이제 스핀을 고려한 경우에 자기장에 의한 Hamiltonian을 생각하자.

* Order of magnitude 구하여 perturbation hierarchy 고려해야 한다. (perturbation의 eigenstate와 연관되기에 중요)

일반적으로 $\hat{H}_{SO} \simeq \hat{H}_{Re} \gg \hat{H}_{B}$ 이므로,

위의 Hamiltonian $\hat{H}_{o}$를 diagonalization하는 basis는 total angular momentum의 eigenstate이므로,

 

여기서 잠시 Wigner-Eckart theorem을 보면

Then,

Then,

결과적으로, energy splitting은 다음과 같다.

이를 case 분류 하면,

 

그림으로 보면

 

If $\hat{H}_{SO} \ll \hat{H}_{B}$, 

 

더 작은 energy splliing 또한 존재한다. proton의 spin과 electron의 spin의 interaction인데, 이를 hyperfine splitting이라 한다.