Interfacial spin-orbit coupling

참조문헌

[1] Interfacial spin–orbit torques
[2] Spin transport at interfaces with spin-orbit coupling: Phenomenology, V. P. Amin et al.

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I. Introduction-

In this work, we start with the simple model described by the Boltzmann equation and show how that the model connects to the parameters that might enter a description based on the drift-diffusion equation.

an analysis of interfacial spin–orbit torques could help determine whether to minimize or maximize interfacial spin–orbit coupling or to minimize or maximize the bulk spin diffusion length.

disentangling bulk and interfacial contributions remains an important challenge, even as new device geometries are explored.

II. Background

II.A. Angular Momentum

Tracking the flow of angular momentum in the system provides a useful framework for understanding spin–orbit torques.

The transfer of angular momentum between reservoirs is mediated by interactions, which are described in the Hamiltonian for the electrons,

The third term is the exchange interaction between electron spin s and the

 

 

PHENOMENOLOGY

Throughout this paper we use two coordinate systems: one oriented relative to the interface (to describe electron flow) and the other oriented relative to the magnetization (to describe spin orientation).

전과 마찬가지로, 우리는 $d$를 dampinglike의, 그리고 $f$를 fieldlike의 방향으로 정의한다. 일반적으로, 수직방향은 magnetization의 수직한 방향으로만 span이 필요하다. 여기서 정의한 수직방향들은 단순히 SOT를 설명하는데 편리하여 그리 한 것이다. 

A. Spin transfer torque

우리는 우선 SOC가 없는 spin valve에서의 STT를 고려하고자 한다. Spin valve는 NM 메탈 스페이서가 두개의 FM layer에 의해 샌드위칭 된 형태로 구성된다. 이 중 한 FM의 자화는 이웃한 AFM 층과 커플링 되어 고정되며, 또 다른 한 FM layer의 자화는 자유롭게 방향을 바꿀 수 있다. Fixed layer를 통과하는 전류로부터 스핀류가 발생하고, 이 스핀류는 NM을 거쳐 free layer에 angular momentum을 전달한다. 이러한 시스템들 내에서 spin accumulation과 spin currents를 묘사할 때, magnetization 방향과 수직한, 그리고 평행한 방향으로 구별하는 것이 유용하다. NM과 free layer의 interface에서, magnetization 방향과 평행한 방향의 스핀류는 보존이 된다. 하지만, magnetizatio과 수직한 방향으로 polarization된 스핀류는 FM에 들어가는 순간 dissipation된다. 이 계면이 transverse 스핀류의 일부분을 흡수하지만, 흡수되지 않은 스핀류는 FM내에서 precession-induced spin dephasing 때문에 빠르게 사라진다. 전이금속류의 FM과 이를 이용하여 만든 합금들에서는 이 dephasing이 spin-diffusion length보다 짧은 범위에서 발생한다. 그러므로, 우리는 FM속에서의 spin accumulation을 임의적으로 interfcae와 가까운 곳에서 일어나는 것으로 취급할 것이다. 이는 magnetoelectric circuit theory에서 행한 것과 같은 방법이다. FM 속에성의 빠른 dephasing은 또한 (SOC를 통한) bulk atomic lattice로의 angular momentum transfer를 무시할 수 있게끔 해준다. 또한 spin torque는 magnetization의 방향만 바꿀 수 있으며, 이는 우리가 magnetization vecotr의 크기가 고정되어 있다고 가정하기 때문이다. 그러므로, 이하의 장에서 우리는 오로지 magnetization과 수직한 방향의 polarization을 가지는 spin currents와 이의 spin accumulation을 고려할 것이다. 

우리는 $z=0^-$에서의 스핀류 $\vec{j}_\perp(0^-)$를 아래와 같이 정의할 수 있다.

여기서 우리는 위 스핀류로부터 발생하는 spin accumulation을 voltage의 단위로, 그리고 spin currents를 number current density의 단위로 표현한다. Transverse spin current, 그리고 transverse spin accumulation은 모두 2차원 벡터이며, magnetization reference frame에서 이 두 물리량은 각각 dampinglike와 fieldlike component로 구성된다.

여기서 conductance matrix $G_R$은 complex-valued spin mixing conductance $G_{\uparrow \downarrow}$의 값으로 이루어지며 아래와 같이 쓸 수 있다.

Spin mixing conductance는 magnetoelectric circuit theory로부터 정의된 물리량으로, magnetization 방향에 무관한 값이다. 총 spin torque ($\tau^{tot}$)를 계산하기 위해서, 우리는 interface와 bulk ferromagnet이 모두 magnetization을 가짐을 고려했다.

B. Spin-orbit torque

Fixed 강자성체의 필요성은 HM/FM bilayer 시스템에서는 그 필요성이 사라진다. 여기서는 HM 속에서 발생하는 spin Hall effect에 의해 스핀류가 만들어진다. Spin Hall effect는 서로 반대되는 스핀을 가지는 charge current의 carrier가 서로 반대 방향으로 이동방향을 바꾸게 하며 스핀류를 만들어낸다. 이 스핀류들의 spin polarization과 그 흐름의 방향은 서로 수직하며, 각각이 전하 전류하고도 수직한 방향을 갖는다. 반대 방향으로 흐르는 스핀 캐리어의 흐름은 각각이 서로 반대되는 spin polarization을 가지므로, (pure) spin current를 만들어내지만 알짜 spin polarization을 가지지는 않는다. Fig.1.(a) – 1.(c)에서 나와 있듯이, 전하 전류를 만들어내는 전기장은 일반적으로 interface plane내 방향을 가지며, interface에 수직한 방향으로 흐르는 스핀류를 만들어낸다. 결과적으로 스핀 밸브때 처럼 스핀 토크를 만들어내고, 이 때 스핀류는 free layer에 각운동량을 전달한다.

하지만 계면 근처에서 발생하는 spin-orbit scattering은 spin Hall effect에서 의해 만들어진 스핀류와는 또 다른 스핀류를 추가적으로 만들어낸다. 이는 전기장에 속박되어 있는 각각의 전자가 모든 방향으로 움직이기 때문이다(알짜 속도만이 in-plane 방향이다). 결과적으로, 계면에서 scattering 되어 튀어나오는 전자는 스핀 방향에 따라 서로 다른 방향으로(due to interfacial spin-orbit coupling) 튀어나온며, 그렇기에 spin polarized 된다.

 

Fig.1.(d)  –  1.(f)에 나와있듯이, 모든 전자의 알짜 spin polarization은 사라지지 않는다 if the electric field perturbs the occupancy of states differently on each side of the interface.

A difference in the occupancy of states for reflected and transmitted carriers can arise from differing conductivities, degrees of polarization in the ferromagnet, or band structures in each layer.

Spin Hall effect와는 다르게, interfacial spin-orbit coupling 에 속박되어 있는 캐리어는 알짜 스핀류 뿐만 아니라 net spin polarization 또한 만들어낸다. 이는 캐리어가 시스템에 스핀 토크를 가하는 방법을 두가지로 늘려준다. 

우선, 우리는 interfacial spin-orbit coupling에 의해 생성되는 스핀류를 고려하고자 한다. 이 스핀류를 더함에 따라, 위에서 정의했던 스핀류 $\vec{j}_\perp(0^-)$는 아래와 같이 변형된다.

오른쪽의 새로운 항은 drift-like한 항으로 아래와 같다.

여기서 conductivity tensor $\sigma$는 interfacial spin-orbit coupling이 없는 경우 사라지며, magnetization direction $\hat{m}$에 따라 값이 달라진다. $\tilde(E)\equiv -E/e$는 in-plane 전기장을 의미하며, bulk conductivity와 conductivity tensor가 같은 단위를 갖게끔 하기 위해 $e$로 나눴다. 여기서 우리는 전기장이 x-축을 향함을 가정한다. 이는 conductivit tensor가 two-vector가 되게끔 하며, 비록 일반적으로는 conductivty tensor는 in-plane electric field 성분과 spin-orbi scattering으로 부터 만들어지는 모든 스핀류를 커플링 시킨다.

다시 한번 강조하고 싶은 것은, two-vector $\vec{j}_\perp^E(0^-)$은 interface에 수직 방향으로 향하는 캐리어 흐름과 자화에 모두 직교하는 방향으로 polarization 된다는 것이다. 하지만, 이 스핀류들은 interface plane 내의 방향을 갖는 전기장을 부터 만들어진다. 

Conductance tensor $\vec{G}_R$은 magnetoelectronic circuit theory로부터 파생 됐으며, 이는 다시 말해 interface에서의 spin-flip scattering은 고려하지 않음을 의미한다. Interfacial spin-orbit coupling은 spin-flip scattering을 야기하므로, conductance matrix 또한 수정되어야 한다. 하지만, 자세한 내용은 Formalism파트에서 다루겠다.

$z=0^+$ 에서의 수직한 스핀류 또한 interfacial spin-orbit scattering에 의해 수정되어야 한다.

이때 오른쪽의 새로운 항은 아래와 같이 주어진다.

여기서 $\gamma^{FM}(\hat{m})$은 torkivity tensor로, conductivity tensor와 비슷한 역할을 한다. $\vec{\tau}^{FM}=\vec{j}_\perp(0^+)$이 유효한 이상, 위의 방정식은 bulk ferromagnet에 가해지는 새로운 spin torque contribution이다. 

두번째로, interfacial SOC에서 나타나는 spin polarization에 대해 알아 볼 것이다. 이 spin polarization은 interface의 자화에 exchange interaction을 통해 커플링된다. 이 커플링은 캐리어가 자화에 추가적인 spin torque를 가하게 끔 한다. 결과적으로,  토크 공식은 아래와 같이 바뀐다.

여기서 $\tau^{mag}$는 interfacial spin-orbit scattering에 의해 나타나는 contribution이다. 이 contribution은 아래와 같이 스일 수 있다.

여기서 $\gamma^{mag}(\hat{m})$은 추가적인 torkivity tensor이다. 이 항은 interface ($z=0$)에서 자화에 작용하는 토크를 나타내며, 자화 내에서만 영향을 끼치는 스핀류에 의한 토크와는 다르다. 이 논문에서 말하는 모든 스핀류처럼, 이 토크들은 number current densities의 유닛을 가진다.

현재 까지의 결과에 대해 요약하면, 위 식들에서 정의한 토크는 interfacial SOC에 의한 spin transport의 수정을 묘사한다. 텐서 $\sigma(\hat{m})$, $\gamma^{FM}(\hat{m})$은 계면 부근의 SOC에서 발생하는 스핀류를 묘사하지만, $\gamma^{mag}(\hat{m})$은 interface에서의 추가적인 spin torque를 묘사한다. 이 텐서들 각각은 모두 계면에서의 spin-dependent reflection과 transmission amplitudes 을 이용해 계산될 수도 있다. 우리는 이에 필요한 표현들을 부록 B에서 제공한다. 

이제 우리는 이 텐서들이 bilayer 내의 다양한 스핀 토크를 바꾸는지에 대해 논의하고자 한다. 우리는 우선 독자들이 $\tau^{int}$가 interface에 걸쳐 수직한 방향의 spin polarization의 total change와 일정한 반면에, $\tau^{mag}$는 자화에 주어지는 $\tau^{int}$의 양과 동일하다. Spin valve에서는 이 토크들은 모두 동일하다.

하지만, HM/FM bilayer에서는, interfacial spin-orbit interaction이 carrier를 자화와 분리되어 있는 추가적인 각운동량 bath에 커플링 시킨다.