Spin Momentum Locking (SML)

참고문헌

1. Spin Splitting of an Au(111) Surface State Band Observed with Angle Resolved Photoelectron Spectroscopy, S. LaShell
2. 12312

 

Spin Momentum Lcoking은 spin의 방향이 carrier momentum의 방향과 correlated 되어 한 방향으로 고정(locking)되는 효과로, SOC가 강력한 물질에서 나타나는 현상이다.

그 중 대표적으로 topological insulaot에서 나타나는데, 이를 한번 살펴보겠다.

These results are interpreted as spin-split surface state bands, with the spins aligned in the plane of the surface perpendicular to the electronic momentum. The origin of the splitting is spin-orbit coupling, which can break spin degeneracy in systems which lack inversion symmetry

Spin-orbit Coupling과 같은 coupling은, 일반적으로 원자 속 전자의 degeneracy를 split하는 것으로 알려져 있다. SOC에 대한 Hamiltonian은 Schrodinger equation의 relativistic correction으로 얻을 수 있으며, 아래와 같은 식을 갖는다.

몇가지 approximation을 더하면, SOC는 $\vec{L}\cdot\vec{S}$에 비례하는 꼴로 바꿔 쓸 수 있으며, 이 항을 통해 twofold degenerate (spin only) level이 SOC에 의해 orbit에 parallel한 level과 antiparallel한 level로 나눠 짐을 짐작할 수 있다.

하지만, 이러한 splitting은 inversion symmetry가 보존되는 시스템에서는 금지되며, 대부분의 고체들은 SOC에 의해 깨지는 spin degeneracy가 없다. 

결정 표면에서는 inversion center가 부재하므로, 이 symmetry를 깰 수 있으며 같은 평행한 wave vector $\vec{k}_{||}$를 가지며 반대 방향의 스핀을 가지는 surface state level이 서로 다른 에너지를 갖게끔 할 수 있다.

이 과정을 거쳐 나오는 slit bands의 구조는 nearly free electron(NFE) model을 통해 볼 수 있으며, 이는 surface state를 포함하는 가장 단순한 모델이다. NFE splitting의 크기는 형용할 수 없을 정도로 작으며, 이는 NFE에서 SOC가 가장 큰 영역인 ion core 근처 영역을 explictily 무시하기 때문이다. The qualitative behavior, however, appears to be correct for sp-derived surface states near the center of the surface Brillouin zone (SBZ) G.

 

Spin-orbit coupling in non-centrosymmetric crystals gives rise to interesting spin-momentum locking of the Fermi surface.

10.25972/OPUS-24797

In solids, Rashba and Dresselhaus effects are manifestations of spin-orbit coupling [8]. SOC also
plays a significant role in the inverse Edelstein [9] and spin Hall [10] effects (where spin-polarized
currents can be generated in the absence of external magnetic fields) and it is the key ingredient
to understand topological insulators and the quantum spin-Hall effect.

자기장이 없는 물질에서는, 전자와 홀의 spin degeneracy는 SIS와 TRS의 결합된 효과이다. 이는 수식 $E_\uparrow(\vec{k}) = E_\downarrow(\vec{k}) $으로 나타낼 수 있다. 하지만, 만약 전자가 inversion symmtetry가 깨진 potential 속에서 이동하는 경우, spin degeneracy는 외부 자기장이 없음에도 깨질 수 있다. 이 경우, 두개의 energy dispersion branche가 나타나며, 각각이 $E_\uparrow(\vec{k})$, $E_\downarrow(\vec{k}) $이다. 

Another way to lift the degeneracy of the energy bands is through a structural inversion symmetry
breaking. As an example, we take an asymmetric quantum well, lacking an inversion center in
the growth direction.

For two-dimensional electron gases with electric fields along the z direction (for instance, a top
gate electrode), the effective magnetic field Beff is both perpendicular to the carrier velocity
and the electric field (see Eq. (2.4)). This SO-induced magnetic field will couple to the electron
spins and, therefore, the spins of the carriers are coupled perpendicularly to its momentum. The
Rashba Hamiltonian can be written as [2]

$E_{+}$와 $E_{-}$의 energy splitting은 Fig.2.2a에 나와있다. 이 figure에서, $E_0$는 SOC가 부재할 때의 degenerated energy band를 나타낸다. Fermi energy $E_F$에서 각각의 Fermi contour(effective magnetic field의 방향과 평행)는 Fig.2.2b에 나와있다.

Both Dresselhaus and Rashba SO couplings generate a “spin-momentum locking” of the electron
spin to its linear momentum and lift the spin degeneracy of the energy bands. Both Rashba
and Dresselhaus spin-orbit effects will be discussed in more depth in Chap. 4 in order to study
anisotropies in the magnetoresistance of HgTe in the presence of in-plane magnetic fields.