대칭성 붕괴 (Symmetry Breaking)

해당 게시글은 Symmetry and Symmetry Breaking을 해석한 글입니다.

Brading, Katherine, Elena Castellani, and Nicholas Teh, "Symmetry and Symmetry Breaking", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2021 Edition), Edward N. Zalta (ed.), 

Symmetry considerations은 현대의 물리학인 양자역학과 상대성이론을 지배하고있다.

Philosophers are now beginning to devote increasing attention to such issues as the significance of gauge symmetry, quantum particle identity in the light of permutation symmetry, how to make sense of parity violation, the role of symmetry breaking, the empirical status of symmetry principles, and so forth. These issues relate directly to traditional problems in the philosophy of science, including the status of the laws of nature, the relationships between mathematics, physical theory, and the world, and the extent to which mathematics suggests new physics.

This entry begins with a brief description of the historical roots and emergence of the concept of symmetry that is at work in modern science. It then turns to the application of this concept to physics, distinguishing between two different uses of symmetry: symmetry principles versus symmetry arguments. It mentions the different varieties of physical symmetries, outlining the ways in which they were introduced into physics. Then, stepping back from the details of the various symmetries, it makes some remarks of a general nature concerning the status and significance of symmetries in physics.

 

2. Symmetry Principles

물리학 방정식의 불변적 특성에 대한 연구가 처음으로 수면위로 올라온건 1800년대 초-중반이었으며 고전역학의 framework에서 움직임에 관한 문제를 변형시키려는 것이 시초였다. W. R. Hamilton이 창안한 동역학적 방정식의 공식화(Hamiltonian, 또는 canonical formulation 이라 한다)를 이용하여, C. H. Jacobi는 Hamiltonian 방정식은 불변하되, 변수를 transformation시키는 전략으로 운동 방정식의 해에 도달하는 방법을 만들어냈다. 각 단계 마다 transformation이 수행되면서 기존의 문제는 더욱 간단해지지만 완벽하게 동등한 방정식을 유지한채 말이다. 이 Jacobi의 canonical tranformation theory(비록 동역학 문제를 '단순히  기계적으로 푸는 방법'으로 소개되었지만)는 매우 중요한 발자취를 남겼다: 바로 물리학적 이론을 transformation property 관점에서 하는 연구의 시작이다. 이에 대한 예로서는 canonical transformation에서의 불변성에 대한 연구가 있으며 Poisson brackets, Poincaré’s integral invariants도 역시 그 예시중 하나이다. 그리고 시간이 흘러, 물리적 불변량에 대한 연구와 불변량에 대한 대수적, 기하학적 이론 사이의 접점은 1900년대 중후반기에 번영하기 시작했으며, 동역학적 문제에 대한 기하학적 접근의 토대를 태동시킨다.

20세기 초반 Gottingen에서, F. Klein, D. Hilbert, H. Weyl, 그리고 나중에 가서는 E.Noether까지 쟁쟁한 물리학자 그룹은 물리 이론을 위해 group theory 수학을 사용하였다. 이때의 발전사에 대한 자세한 내용은 Brading and Castellani (2007)를 참조하기 바란다.

위의 접근법에서는, 우리가 관심있어 하는 물리적 방정식 또는 표현이 이미 주어진 상태이며, 전략은 그들의 symmetry 성질을 학습하는 것이다. 하지만, 또 다른 접근법이 존재하는데, 이름하여 'reverse one'이다. 이는 특정 대칭성에서부터 시작하여 이 대칭성을 만족하는 동역학적 방정식을 찾는 전략이다. 다시 말해, 동역학적 방정식에서부터 그 대칭성을 끄집어내는게 아니라, 애초에 해당 대칭성이 물리적으로 중요하다고 미리 상정해놓는 것이다. 물론, 특정 대칭성이 자연에 존재한다는 가정은 novelty 하지 않다. 비록 대칭성의 법칙에 분명하게 표현 되어있지는 않지만, physical space의 homogenity와 isotropy, 그리고 시간의 uniformity는 현대 과학이 태동한 이래로 물리학적 묘사(physical description)의 전제조건으로 여겨져 왔다. 이 종류의 symmetry principle을 의도적으로 사용한 아마도 가장 유명한 예는 1632년 Galileo에 의해 쓰여진 Dialogue concerning the two chief world systems 일 것이다. 여기에서 갈릴레오는 지구가 움직이는가에 대한 의논을 한다. 갈릴레오는 지구에서 물체들이 어떻게 행동하는지(돌이 떨어진다거나, 새가 날아다닌다거나) 그저 보는 것만으로 지구가 돌지 않고 멈춰있다고 주장할 수 없다고 생각했다. 이러한 관측만으로는 지구의 운동상태를 결정할 수 없다는 것이었다. 

그의 접근법은 배를 이용한 비유였다: 그는 배의 선실 내부에서 생물, 또는 무생물 물체의 행동에 대해 생각했다.inside the cabin of a ship, and claims that no experiments carried out inside the cabin, without reference to anything outside the ship, would enable us to tell whether the ship is at rest or moving smoothly across the surface of the Earth.

배 위에서의 실험을 지배하는 법칙을 자세히 알 필요 없이, '정지'와 '특정 움직임' 사이의 대칭성에 대한 가정은  대칭성에정지와 움직임 사이의 결과 예측을 야기한다. 이 “Galilean principle of relativity”는 axiom으로 빠르게 적용 됐고 17세기에 널리 쓰이게 된다. 특히 Huygens는 colliding bodies 문제에서 위의 법칙을 이용해 해를 구했으며, 뉴턴 역시 물체 움직임과 관련된 그의 초기업적에 갈리레오의 법칙을 이용했다. Huygens took the relativity principle as his 3rd hypothesis or axiom, but in Newton’s Principia it is demoted to a corollary to the laws of motion, its status in Newtonian physics therefore being that of a consequence of the laws, even though it remains, in fact, an independent assumption.

비록, 역학 법칙의 공간적 그리고 시간적 불변성은 물리학에서 이미 오래전에 알려져있었고 사용되어 왔지만, 그리고 전자기학에서 global spacetime symmetry의 group이 이미 Poincare에 의해 완벽하게 유도 되었지만, 대칭성과 법칙의 상하관계가 뒤바낀 것은 Eisntein의 1905년 발표한 특수 상대성 이론 논문이 나오고 나서였다. 이에 대해 P. Wigner는 다음과 같이 썼다. “the significance and general validity of these principles were recognized, however, only by Einstein”, and that Einstein’s work on special relativity marks “the reversal of a trend: until then, the principles of invariance were derived from the laws of motion … It is now natural for us to derive the laws of nature and to test their validity by means of the laws of invariance, rather than to derive the laws of invariance from what we believe to be the laws of nature”.

In postulating the universality of the global continuous spacetime symmetries, Einstein’s construction of his special theory of relativity represents the first turning point in the application of symmetry to twentieth-century physics.[8]

2.1 Relativity

2.1.1 The special theory of relativity

Einstein’s special theory of relativity (STR) is constructed on the basis of two fundamental postulates. One is the light postulate (that the speed of light, in the “rest frame”, is independent of the speed of the source), and the other is the principle of relativity. The latter was adopted by Einstein explicitly as a means of restricting the form of the laws, whatever their detailed structure might turn out to be. Thus, we have the difference between a “constructive” and a “principle” theory: in the former case we build our theory based on known facts about the constitution and behaviour of material bodies; in the latter case we start by restricting the possible form of such a theory by adopting certain principles.[9]

The principle of relativity as adopted by Einstein (1905, p. 395 of the English translation) simply asserts that:

The laws by which the states of physical systems undergo changes are independent of whether these changes of states are referred to one or the other of two coordinate systems moving relatively to each other in uniform translational motion.

This principle, when combined with the light postulate (and certain other assumptions), leads to the Lorentz transformations, these being the transformations between coordinate systems moving uniformly with respect to one another according to STR. According to STR the laws of physics are invariant under Lorentz transformations, and indeed under the full Poincaré group of transformations. These transformations differ from the Galilean transformations of Newtonian mechanics. H. Minkowski reformulated STR, showing that space and time are part of a single four-dimensional geometry, Minkowski spacetime. In this way, the Poincaré group of symmetry transformations is part of the structure of spacetime in STR, and for this reason these symmetries have been labelled “geometric symmetries” by Wigner (1967, especially pp. 15 and 17–19).

There is a debate in the literature concerning how the principle of relativity, and more generally the global space-time symmetries, should be understood. On one approach, the significance of space-time symmetries is captured by considering the structure of a theory through transformations on its models, those models consisting of differentiable manifolds endowed with various geometric objects and relations (see Anderson, 1967, and Norton, 1989). According to Brown and Sypel (1995) and Budden (1997), this approach fails to recognise the central importance of effectively isolated subsystems, the empirical significance of symmetries resting on the possibility of transforming such a subsystem (rather than applying the transformation to the entire universe). For further developments in this debate, including applications to local symmetries and to gauge theories, see Kosso (2000), Brading and Brown (2004), Healey (2007), Healey (2009), Greaves and Wallace (2014), Friederich (2015), Rovelli (2014) and Teh (2015, 2016).

The global spacetime invariance principles are intended to be valid for all the laws of nature, for all the processes that unfold in the spacetime. This universal character is not shared by the physical symmetries that were next introduced in physics. Most of these were of an entirely new kind, with no roots in the history of science, and in some cases expressly introduced to describe specific forms of interactions — whence the name “dynamical symmetries” due to Wigner (1967, see especially pp. 15, 17–18, 22–27, 33).

2.1.2 The general theory of relativity

Einstein’s general theory of relativity (GTR) was also constructed using a symmetry principle at its heart: the principle of general covariance. Much ink has been spilled over the significance and role of general covariance in GTR, including by Einstein himself.[10] For a long time he viewed the principle of general covariance as an extension of the principle of relativity found in both classical mechanics and STR, and this is a view that continues to provoke vigorous debate. Norton (2003) discusses the “Kretschmann objection” to the physical significance of general covariance. On invariance versus covariance, see Anderson (1967), Brown and Brading (2002), and Martin (2003, Section 2.2). What is clear is that the mere requirement that a theory be generally covariant represents no restriction on the form of the theory; further stipulations must be added, such as the requirement that there be no “absolute objects” (this itself being a problematic notion). Once some such further requirements are added, however, the principle of general covariance becomes a powerful tool. For a recent review and analysis of this debate, see Pitts (2006).

In Einstein’s hands the principle of general covariance was a crucial postulate in the development of GTR.[11] The diffeomorphism freedom of GTR, i.e., the invariance of the form of the laws under transformations of the coordinates depending smoothly on arbitrary functions of space and time, is a “local” spacetime symmetry, in contrast to the “global” spacetime symmetries of STR (which depend instead on constant parameters). For a discussion of coordinate-based approaches to the diffeomorphism invariance of General Relativity, see Wallace (forthcoming), and for more on the physical interpretation of this invariance, see Pooley (2017). Such local symmetries are “dynamical” symmetries in Wigner’s sense, since they describe a particular interaction, in this case gravity. As is well known, the spacetime metric in GTR is no longer a “background” field or an “absolute object”, but instead it is a dynamical player, the gravitational field manifesting itself as spacetime curvature.

The extension of the concept of continuous symmetry from “global” symmetries (such as the Galilean group of spacetime transformations) to “local” symmetries is one of the important developments in the concept of symmetry in physics that took place in the twentieth century. Prompted by GTR, Weyl’s 1918 “unified theory of gravitation and electromagnetism” extended the idea of local symmetries (see Ryckman, 2003, and Martin, 2003), and although this theory is generally deemed to have failed, the theory contains the seeds of later success in the context of quantum theory (see below, Section 2.5).

Meanwhile, Hilbert and Klein undertook detailed investigations concerning the role of general covariance in theories of gravitation, and enlisted the assistance of Noether in their debate over the status of energy conservation in such theories. This led to Noether’s famous 1918 paper containing two theorems, the first of which leads to a connection between global symmetries and conservation laws, and the second of which leads to a number of results associated with local symmetries, including a demonstration of the different status of the conservation laws when the global symmetry group is a subgroup of some local symmetry group of the theory in question (see Brading and Brown, 2003).

 

2.2 Symmetry and quantum mechanics

1920년대 양자역학에서, 군론과 대칭을 이용하기 위한 군론적 표현 방법은 의심할 여지 없이 20세기 물리학적 대칭에 있어 두 번째 터닝포인트였다. 사실, 양자역학적 문맥에서 대칭 법칙은 가장 효율적인 방법이었다. Wigner, Weyl은 양자역학에서 symmetry group의 관련성을 알아챔과 동시에 이것이 가지는 의미에 대해 숙고한 과학자들중 선두자이다. As Wigner emphasized on many occasions, one essential reason for the “increased effectiveness of invariance principles in quantum theory” (Wigner, 1967, p. 47) is the linear nature of the state space of a quantum physical system, corresponding to the possibility of superposing quantum states. This gives rise to, among other things, the possibility of defining states with particularly simple transformation properties in the presence of symmetries.

일반적으로, 만약 G를 물리적 시스템을 묘사하는 theory의 symmetry group이라 하면(다시 말해, theory의 동역학 방정식은 G 변환에 대해 불변이다), 이는 시스템의 states가 G그룹의 어떠한 "representation"에 따라 서로 서로 변화한다는 것이다.

다시 말해, group transformation은 각 states과 관련된 연산에 따라 state space에 수학적으로 represented 된다. 

양자역학에서, 이 operations 들은 state space의 operator를 통해 작요되며, 물리학적 관측량을 도출하며, 물리적 시스템속의 임의의 state는 elementray system의 states들의 superposition으로 기술할 수 있다, that is, of systems the states of which transform according to the “irreducible” representations of the symmetry group.

양자역학은 그러므로 특히 symmetry principles들을 적용시키는데 있어 매우 유리한 framework를 제공한다. The observables representing the action of the symmetries of the theory in the state space, and therefore commuting with the Hamiltonian of the system, play the role of the conserved quantities; . furthermore, the eigenvalue spectra of the invariants of the symmetry group provide the labels for classifying the irreducible representations of the group: on this fact is grounded the possibility of associating the values of the invariant properties characterizing physical systems with the labels of the irreducible representations of symmetry groups, i.e. of classifying elementary physical systems by studying the irreducible representations of the symmetry groups.

2.3 Permutation symmetry

The first non-spatiotemporal symmetry to be introduced into microphysics, and also the first symmetry to be treated with the techniques of group theory in the context of quantum mechanics, was permutation symmetry (or invariance under the transformations of the permutation group). This symmetry, “discovered” by W. Heisenberg in 1926 in relation to the indistinguishability of the “identical” electrons of an atomic system,[12] is the discrete symmetry (i.e. based upon groups with a discrete set of elements) at the core of the so-called quantum statistics (the Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics), governing the statistical behaviour of ensembles of certain types of indistinguishable quantum particles (e.g. bosons and fermions). The permutation symmetry principle states that if such an ensemble is invariant under a permutation of its constituent particles then one doesn’t count those permutations which merely exchange indistinguishable particles, that is the exchanged state is identified with the original state (see French and Rickles, 2003, Section 1).

Philosophically, permutation symmetry has given rise to two main sorts of questions. On the one side, seen as a condition of physical indistinguishability of identical particles (i.e. particles of the same kind in the same atomic system), it has motivated a rich debate about the significance of the notions of identity, individuality, and indistinguishability in the quantum domain. Does it mean that the quantum particles are not individuals? Does the existence of entities which are physically indistinguishable although “numerically distinct” (the so-called problem of identical particles) imply that the Leibniz’s Principle of the Identity of Indiscernibles should be regarded as violated in quantum physics? On the other side, what is the theoretical and empirical status of this symmetry principle? Should it be considered as an axiom of quantum mechanics or should it be taken as justified empirically? It is currently taken to explain the nature of fermionic and bosonic quantum statistics, but why do there appear to be only bosons and fermions in the world when the permutation symmetry group allows the possibility of many more types? French and Rickles (2003) offer an overview of the above and related issues, and a new twist in the tale can be found in Saunders (2006). Saunders discusses permutation symmetry in classical physics, and argues for indistinguishable classical particles obeying classical statistics. He argues that the differences between quantum and classical statistics, for certain classes of particles, therefore cannot be accounted for solely in terms of indistinguishability. For further discussion and references see French and Krause (2006), Ladyman and Bigaj (2010), Caulton and Butterfield (2012), and the related SEP entry identity and individuality in quantum theory.

2.4 C, P, T

Because of the specific properties of the quantum description, the discrete symmetries of spatial reflection symmetry or parity (P) and time reversal (T) were “rediscovered” in the quantum context, taking on a new significance. Parity was introduced in quantum physics in 1927 in a paper by Wigner, where important spectroscopic results were explained for the first time on the basis of a group-theoretic treatment of permutation, rotation and reflection symmetries. Time reversal invariance appeared in the quantum context, again due to Wigner, in a 1932 paper.[13] To these was added the new quantum particle-antiparticle symmetry or charge conjugation (C). Charge conjugation was introduced in Dirac’s famous 1931 paper “Quantized singularities in the electromagnetic field”.

The discrete symmetries C, P and T are connected by the so-called CPT theorem, first proved by Lüders and Pauli in the early 1950s, which states that the combination of C, P, and T is a general symmetry of physical laws. For philosophical reflections on the meaning and grounding of the CPT theorem see Wallace (2009) and Greaves (2010). A discussion of the proofs of the theorem, both within the standard quantum field theory framework and the axiomatic field theory framework, is provided in Greaves and Thomas (2014).

The laws governing gravity, electromagnetism, and the strong interaction are invariant with respect to C, P and T independently. However, in 1956 T. D. Lee and C. N. Yang pointed out that β-decay, governed by the weak interaction, had not yet been tested for invariance under P. Soon afterwards C. S. Wu and her colleagues performed an experiment showing that the weak interaction violates parity. Nevertheless, β-decay respects the combination of C and P as a symmetry. In 1964, however, CP was found to be violated in weak interaction by Cronin and Fitch in an experiment involving K-mesons. This implied, in virtue of the CPT theorem, the violation of T-symmetry as well; since then, there have been direct observations of T-symmetry violation, as reported by e.g., CPLEAR Collaboration (1998). For a careful analysis of the underlying assumptions working in the assessment of T-violation see Roberts (2015) and Ashtekar (2015). The philosophical puzzle is how we can come to know this time asymmetry, given that we cannot truly ‘reverse’ time. Roberts proposes three templates for explaining how this is possible, drawing in particular on a version of Curie’s principle. By contrast, Gołosz (2016) argues that this asymmetry should be understood as applying to a physical process, rather than to time itself. A yet more basic question is that of what time reversal symmetry actually means. On the philosophical debate on this point, see Roberts (2017) and references therein.

The existence of parity violation in our fundamental laws has led to a new chapter in an old philosophical debate concerning chiral or handed objects and the nature of space. A description of a left hand and one of a right hand will not differ so long as no appeal is made to anything beyond the relevant hand. Yet left and right hands do differ  — a left-handed glove will not fit on a right hand. For a brief period,  Kant saw in this reason to prefer a substantivalist account of space over a relational one, the difference between left and right hands lying in their relation to absolute space. Regardless of whether this substantivalist solution succeeds, there remains the challenge to the relationalist of accounting for the difference between what Kant called “incongruent counterparts” — objects which are the mirror-image of one another and yet cannot be made to coincide by any rigid motion. The relationalist may respond by denying that there is any intrinsic difference between a left and a right hand, and that the incongruence is to be accounted for in terms of the relations between the two hands (if a universe was created with only one hand in it, it would be neither left nor right, but the second hand to be created would be either incongruent or congruent with it). This response becomes problematic in the face of parity violation, where one possible experimental outcome is much more likely than its mirror-image. Since the two possible outcomes don’t differ intrinsically, how should we account for the imbalance? This issue continues to be discussed in the context of the substantivalist-relationalist debate. For further details see Pooley (2003) and Saunders (2007).

2.5 Gauge symmetry

The starting point for the idea of continuous internal symmetries was the interpretation of the presence of particles with (approximately) the same value of mass as the components (states) of a single physical system, connected to each other by the transformations of an underlying symmetry group.

This idea emerged by analogy with what happened in the case of permutation symmetry, and was in fact due to Heisenberg (the discoverer of permutation symmetry), who in a 1932 paper introduced the SU(2) symmetry connecting the proton and the neutron (interpreted as the two states of a single system). This symmetry was further studied by Wigner, who in 1937 introduced the term isotopic spin (later contracted to isospin). The various internal symmetries are invariances under phase transformations of the quantum states and are described in terms of the unitary groups SU(N). The term “gauge” is sometimes used for all continuous internal symmetries, and is sometimes reserved for the local versions (these being at the core of the Standard Model for elementary particles).[14]

The phase of the quantum wavefunction encodes internal degrees of freedom. With the requirement that a theory be invariant under local gauge transformations involving the phase of the wavefunction, Weyl’s ideas of 1918 found a successful home in quantum theory (see O’Raifeartaigh, 1997). Weyl’s new 1929 theory was a theory of electromagnetism coupled to matter. The history of gauge theory is surveyed briefly by Martin (2003), who highlights various issues surrounding gauge symmetry, in particular the status of the so-called “gauge principle”, first proposed by Weyl. The main steps in development of gauge theory are the Yang and Mills non-Abelian gauge theory of 1954, and the problems and solutions associated with the successful development of gauge theories for the short-range weak and strong interactions.

The main philosophical questions raised by gauge theory all hinge upon how we should understand the relationship between mathematics and physics. There are two broad categories of discussion. The first concerns the gauge principle, already mentioned, and the issue here is the extent to which the requirement that we write our theories in locally-symmetric form enables us to derive new physics. The analysis concerns listing what premises constitute the gauge principle, examining the status of these premises and what motivation might be given for them, determining precisely what can be obtained on the basis of these premises, and what more needs to be added in order to arrive at a (successful) physical theory. For details see, for example, Teller (2000) and Martin (2003).

The second category concerns the question of which quantities in a gauge theory represent the “physically real” properties. This question arises acutely in gauge theories because of the apparent failure of determinism. The problem was first encountered in GTR (which in this respect is a gauge theory), and for further details the best place to begin is with the literature on Einstein’s “hole argument” (see Earman and Norton, 1987; Earman, 1989, Chapter 9; and more recently Norton, 1993; Rynasiewicz, 1999; Saunders, 2002; and the references therein). In practice, we find that only gauge-invariant quantities are observables, and this seems to rescue us. However, this is not the end of the story. The other canonical example is the Aharanov-Bohm effect, and we can use this to illustrate the interpretational problem associated with gauge theories, sometimes characterized as a dilemma: failure of determinism or action-at-a-distance (see Healey, 2001). Restoring determinism depends on only gauge-invariant quantities being taken as representing “physically real” quantities, but accepting this solution apparently leaves us with some form of non-locality between causes and effects.

Furthermore, we face the question of how to understand the role of the non-gauge-invariant quantities appearing in the theory, and the problem of how to interpret what M. Redhead calls “surplus structure” (see Redhead, 2003). For further detail on this topic, see Belot (1998), Nounou (2003), Weatherall (2016), and Nguyen, Teh, & Wells (forthcoming). For an approach to these questions using the theory of constrained Hamiltonian systems, see also Earman (2003b) and Castellani (2003, 2004). For an intuitive characterization of gauge symmetry, one that is more general than the Lagrangian and Hamiltonian formulations of theories using which gauge symmetry is usually expressed, see Belot (2008). How best to interpret gauge theories is an open issue in the philosophy of physics. Healey (2007) discusses the conceptual foundations of gauge theories, arguing in favour of a non-separable holonomy interpretation of classical Yang-Mills gauge theories of fundamental interactions. Catren (2008) tackles the ontological implications of Yang-Mills theory by means of the fiber bundle formalism. Useful references are the Metascience review symposium on Healey (2007) (Rickles, Smeenk, Lyre and Healey, 2009), and the “Synopsis and Discussion” of the workshop “Philosophy of Gauge Theory,” Center for Philosophy of Science, University of Pittsburgh, 18–19 April 2009 (available online).

2.6 Dualities

Thus far, we have been discussing symmetries which act on the space of states of a physical theory. In recent years, much discussion within physics and philosophy has centered on certain kinds of symmetries that act on the space of theories. When such symmetries are interpreted as realizing an “equivalence” (which sense is itself something that requires philosophical work to explicate) between two theories, the theories are typically said to be related by a “duality symmetry” (and if we are speaking of “symmetry” in the strict sense of an automorphism, then such dualities are called “self-dualities”).

The dualities playing a central role in contemporary physics are of various types: dualities between quantum field theories (like the generalized electric-magnetic duality), between string theories (such as T-duality and S-duality), and between physical descriptions which are, respectively, a quantum field theory and a string theory, as in the case of gauge/gravity dualities (on the various types of dualities and their significance in physics, see Castellani and Rickles (eds.), 2017). Historically, the first relevant dualities to be used in physics were electric-magnetic duality, momentum-position duality (via Fourier transform) – wave-particle duality in the QM context – and the Kramers-Wannier duality of the two-dimensional Ising model in statistical physics.

In general, because dualities are transformations between theories, their implications are more radical than those of symmetry transformations. While symmetries are mapping between the solutions of the same theory, different theoretical descriptions can have very different interpretations in terms of objects, properties, degrees of freedom, and spacetime frameworks. Thus, dualities naturally offer a new and interesting viewpoint on many traditional issues in the philosophy of science, such as a) reduction, emergence, and fundamentality; b) theoretical equivalence and underdetermination; and c) realism versus anti-realism.

Within the philosophical literature, work relating symmetries to dualities generally responds to one of the following three questions:

• What is an appropriate formal framework for understanding the inter-theoretic relationship realized by duality symmetries? Within the context of quantum gauge/gravity duality, a rudimentary framework for doing so was sketched in de Haro, Teh, and Butterfield (2017) and then further developed in de Haro and Butterfield (2017) for the case of bosonization dualities. And within the far simpler context of classical mechanics, Teh and Tsementzis (2017) explore the use of the quintessential symmetry of classical phase space (viz. symplectomorphisms) to relate Hamiltonian and Lagrangian theories, and proceed to discuss how can use this framework as a toy model for thinking about more sophisticated dualities.
• What is the relationship between the local symmetry of a theory and the symmetries of its dual theory? One reason that this question is pressing is that (as we mentioned in Section 2.5), local symmetries are typically regard as “surplus” or “redundant” structure of a theory; thus one might hope to be able to construct a dual theory that does not contain such surplus structure. Indeed, it was conjectured in Polchinski and Horowitz (2009) that for gravity/gauge duality, the local symmetries (i.e. the diffeomorphisms) of the bulk theory will always be “invisible” from the perspective of its dual boundary theory. However, de Haro, Teh, and Butterfield (2017) argue that this conjecture is not true in full generality: there is a special class of diffeomorphisms which do not vanish in the boundary theory, but instead correspond to conformal transformations of the boundary CFT.
• Should duality symmetries themselves by understood as a certain kind of “gauge symmetry”, thus explaining why we should treat dual theories as “physically equivalent”? On this question, Read (2016) undertakes the task of using the “hole argument” as a lens with which to compare string-theoretic dualities with (intra-theory) gauge symmetries.

 

 

 

대칭성은 exact하거나 appoximate하거나 아니면 broken 총 세개의 가능성이 있다. 이를 하나씩 살펴본다

1. Exact

이 경우는 조건 없이 유효하다는 의미이다.

2. Approximate

이 경우는 특정 조건에서 유효하다는 의미이다.

3. Broken

이 경우는 고려하는 물체나 문맥에 따라 뜻하는 바가 다를 수도 있다.

 

 

대칭성붕괴에 대한 연구는 Pierre Curie까지 거슬러 올라간다. Curie에 따르면, 대칭성붕괴는 다음의 역할을 갖는다.

' 물체에서 나타는 현상의 발현에 대해서, the original symmetry group of the medium must be broken to the symmetry group of the phenomenon by the action of some cause. 

이 관점에서 본다면, 대칭성 붕괴는 어떠한 현상을 만들어내는 무언가이다.

일반적으로, 특정 대칭성의 붕괴가 '대칭성이 존재하지 않다'는 것을 뜻하지는 않는다. 되려 대칭성이 붕괴된 그 상황은, 원래것에 비해 더 낮은 대칭성을 갖는다고 특정 지을 수 있다.

Group-theoretic 용어에서, 위의 문장은 초기의 대칭성 그룹이 여러 서브 그룹중 하나의 서브그룹으로 붕괴된다는 것을 의미한다. 

그러므로 '대칭성붕괴'라는 용어는 transformation group들 사이의 관계의 관점에서 설명이 가능하다.

특히 between a group (the unbroken symmetry group) and its subgroup(s). 

 

이는 1992년 I. Stewart and M. Golubitsky저의 책에서 분명하게 설명되어 있음을 알 수 있다.

책의 관점에서 시작하여, 대칭성붕괴에대한 일반적인 general theory는 '어떤 subgroup이 나타날 수 있는가?', '언제 특정 subgroup이 나타나는가?' 하는 질문들에 태클을 걸며 발전할 수 있었다

대칭성붕괴는 물리학에서 처음 직접적으로 연구되기 시작했으며 물리적인 물체와 현상에 대한 연구가 시발점이었다.

이는 놀라운것이 아닌게, 대칭성 이론은 잘 알려진 공간적 도형과 일상에서 볼 수 있는 물체 등 '가시적인 대칭성 특성'에서 유래했기 때문이다.

하지만 대칭성붕괴가 물리학에서 특별한 상징성을 얻게 된것은 'laws'과 관련이 있다.

대칭성붕괴에는 크게 두가지 laws가 존재하는데, 바로 'explicit', 그리고 'spontaneous'이다.

이중 자발적 대칭성 붕괴(Spontaneous Symmetry Breaking)의 경우가 더 흥미롭다고 말 할 수 있다. 물리적으로, 그리고 철학적 관점에서도!.

4.1. Explicit Symmetry Breaking

Explicit Symmettry Breaking은 dynamical equation이 고려하는 symmetry group에서 manifestly invariant 하지 않은 상황을 나타낸다. 

이는 다시 말해, 라그랑지안(혹은 헤밀토니안) formulation에서, 시스템의 라그랑지안 (혹은 헤밀토니안)이 대칭성을 explicitly 붕괴시키는 항을 한개 이상 갖고 있다는 의미이다.

이때 이 항들은 서로 다른 근원을 가질 수 있다.

(A) Symmetry-breaking 항은 이론적, 실험적 결과에 의해 추가 될 수 있다. 약한 상호작용의 양자장이론(QFT, Quantum Field Theory)이 이 경우에 해당할 것이다

(a) Symmetry-breaking terms may be introduced into the theory by hand on the basis of theoretical/experimental results, as in the case of the quantum field theory of the weak interactions, which is expressly constructed in a way that manifestly violates mirror symmetry or parity. The underlying result, in this case, is parity non-conservation in the case of the weak interaction, first predicted in the famous (Nobel-prize winning) 1956 paper by T. D. Lee and C.N. Yang.

(B) 다른 한편으로 Symmetry-breaking 항은 양자역학적 효과 때문에 추가 될 수 있다. 보통 "anomalies"라 불리는 이 항이 존재하는 이유중 하나를 살펴본다.

고전역학에서 양자역학으로 넘어갈 때, because of possible operator ordering ambiguities for composite quantities such as Noether charges and currents, it may be that the classical symmetry algebra (generated through the Poisson bracket structure) is no longer realized in terms of the commutation relations of the Noether charges. Moreover, the use of a “regulator” (or “cut-off”) required in the renormalization procedure to achieve actual calculations may itself be a source of anomalies. It may violate a symmetry of the theory, and traces of this symmetry breaking may remain even after the regulator is removed at the end of the calculations. Historically, the first example of an anomaly arising from renormalization is the so-called chiral anomaly, that is the anomaly violating the chiral symmetry of the strong interaction (see Weinberg, 1996, Chapter 22).
(c) Finally, symmetry-breaking terms may appear because of non-renormalizable effects. Physicists now have good reasons for viewing current renormalizable field theories as effective field theories, that is low-energy approximations to a deeper theory (each effective theory explicitly referring only to those particles that are of importance at the range of energies considered). The effects of non-renormalizable interactions (due to the heavy particles not included in the theory) are small and can therefore be ignored at the low-energy regime. It may then happen that the coarse-grained description thus obtained possesses more symmetries than the deeper theory. That is, the effective Lagrangian obeys symmetries that are not symmetries of the underlying theory. These “accidental” symmetries, as Weinberg has called them, may then be violated by the non-renormalizable terms arising from higher mass scales and suppressed in the effective Lagrangian (see Weinberg, 1995, pp. 529–531).

4.2. 자발적 대칭성 붕괴 (Spontaneous Symmetry Breaking)

자발적 대칭성 붕괴 (Spontaneous Symmetry Breaking, 이하 SSB)는 occurs in a situation where, given a symmetry of the equations of motion, solutions exist which are not invariant under the action of this symmetry without any explicit asymmetric input (whence the attribute “spontaneous”).[16]

SSB에 해당하는 상황은 고전역학에서도 찾아 볼 수 있다.

Linear vertical stick이 서있을 때 수직으로 외력이 가해진다고 생각해본다. 물리적으로 이를 묘사할 때 축을 중심으로 한 회전에 대해서는 모든 방향에 대해 invariant하다.

힘이 너무 강하지 않는 한 stick은 휘어지지 않고 equilibrium configuration (the lowest energy configuration)은 이 대칭성에서 invariant하다.

만약 힘이 임계 값에 도달한다면, the symmetric equilibrium configuration은 불안정해지고, 수많은 equivalent lowest energy stable states가 나타난다. 이 states들은 더 이상 회전 대칭성을 가지진 않지만, 회전을 통해 서로 연관을 가지게 된다.

이 경우 실제 대칭성의 붕괴는 매우 작은 외부의 asymmetric 요인에 의해서라도 쉽게 나타날 것이고, stick은 수많은 stable asymmetric equilibrium configuration 중 한개에 도달할 때 까지 휘어질 것이다. 

In substance, what happens in the above kind of situation is the following: when some parameter reaches a critical value, the lowest energy solution respecting the symmetry of the theory ceases to be stable under small perturbations and new asymmetric (but stable) lowest energy solutions appear. The new lowest energy solutions are asymmetric but are all related through the action of the symmetry transformations. In other words, there is a degeneracy (infinite or finite depending on whether the symmetry is continuous or discrete) of distinct asymmetric solutions of identical (lowest) energy, the whole set of which maintains the symmetry of the theory.
In quantum physics SSB actually does not occur in the case of finite systems: tunnelling takes place between the various degenerate states, and the true lowest energy state or “ground state” turns out to be a unique linear superposition of the degenerate states. In fact, SSB is applicable only to infinite systems — many-body systems (such as ferromagnets, superfluids and superconductors) and fields — the alternative degenerate ground states being all orthogonal to each other in the infinite volume limit and therefore separated by a “superselection rule” (see for example Weinberg, 1996, pp. 164–165).

역사적으로 봤을때, SSB 개념은 응집물질물리학에서 처음 부상했다.

프로토타입 케이스는 1928년의 아이젠버그의 강자성체 이론 일것이다. 해당 이론은 무한한 spin1/2 자기모멘트의 배열에 대한 것으로 해당 자기모멘트들은 가장 가까운 스핀 사이의 스핀-스핀 상호작용 (spin-spin interaction)에 의해, 이웃하는 자기모멘트와 평행 정렬하려는 경향을 가진다.

비록 이론이 회전 변환에 대해 불변이지만, 큐리온도 $T_{C}$ 밑에서 실제 강자성체의 ground state는 특정 방향(자화를 생각하면 된다)을 향해 정렬하게 되며 rotational symmetry를 만족하지 못한다.

임계값 $T_{C}$ 밑에서는 무한한 degenerated된 바닥 상태가 존재하며, 그 상태속의 전자 스핀은 모두 한 방향을 향하고 있다. 양자 상태의 complete set은 각 ground state에 만들어질 수 있다.

그러므로 우리는 수많은 다른 "가능한 세상"(sets of solutions to the same equations)를 가질 수 있으며, 각각의 세상은 possible orthogonal ground states중 하나에 지어질 수 있다.  

S. Coleman에 의해 만들어진 유명한 예를 살펴보자.
Possible asymmetric worlds 중 하나에 살아가는 소형 남자는 rotational symmetry of the laws of nature를 찾기 매우 힘들 것이다. 마치 그가 행하는 모든 실험이 자기장이 걸려 있는 상태에서 실험하는 것과 같을 것이다. 물론 대칭은 확실히 존재한다. 다만, 그 소형 남자에게는 감춰져 있을 뿐이다. 더욱이, 그 소형 남자가 살아가는 세상의 ground sate가 수많은 degenerate multiplet 중 하나라는 것을 직접적으로 발견할 깃은 더더욱 없다. 무한한 강자성체 속 한개의 ground state에서 또 다른 ground state(또 다른 세계)로 넘어가는 것은 수 많은 dipole의 방향을 바꾸는 것을 필요로 한다. 이는 유한한 소형 남자에게는 불가능한 일이다.(Coleman, 1975, pp. 141-142)

 

말했듯이, 무한한 부피 경계 속에서는 모든 ground states는 superselection rule에 의해 분리되어 있다. Ruetsche는 2006년에 symmetry breaking과 ferromagnetism을 대수학적 관점에서 논의하였다. 이에 앞서 2005년에는 Liu와 Emch가 비상대론적 양자 통계 물리학에서의 SSB를 설명하는 해석적 문제에 대해서 다루었다. 10년이 지난 후 Fraser는 2016년에 infinite system에서의 SBB 를 논의 하였으며, 통계 역학에서 SSB의 characterization에 대한 열역학적 limit의 필수불가결함에 반기를 들었다.

똑같은 문제는 QFT에서도 일반화 될 수 있다. ground state는 vacuum state로, 소형남자의 역할은 우리가 스스로 맡게 된다. 이 말은 즉슨, 자연법칙의 대칭성이 존재할  수 있으면서도, 우리에게는 발현되지 않을 수도 있는데 이는 우리가 살아가고 있는 물리적 세상이 대칭성들에 대해 불변하지 않은 vacuum state를 기반으로 만들어 졌기 때문이다. 다른 말로, 우리가 경험하는 물리적 세상은 우리에게 매우 asymmetric 하게 느껴질 수도 있다는 것이자. 하지만 이로 인해 asymmetry가 자연 법칙의 fundamental에 속한다는 뜻은 아니다. SSB는 이 물리적 가능성을 이해하고 응용할 수 있는 키를 제공한다.

SSB의 개념은 응집물질 물리학에서 이른 1960년대 쯔음에 QFT로 넘어갔다. 이는 Y.Bambu, 그리고 G. HJona- Lasinio의 공이 매우 컸다. Jona-Lasinio는 2003년에 직접 SSB

The concept of SSB was transferred from condensed matter physics to QFT in the early 1960s, thanks especially to works by Y. Nambu and G. Jona- Lasinio.

 

 

 

잠깐 쉬는 타임으로 symmetry, 그리고 Curie's symmetry principle과 관련된 물리 현상에 대해 알아보고자 한다.

doi.org/10.1016/j.physleta.2019.126228

Symmetry가 존재한다는 말은, 특정 변환의 전과 후에 system에 변화가 없다는 뜻이다. 위의 그림에서 (a)를 보면 전기장 $\vec{E}$가 x방향으로 걸려있는 상황이다.(y축 방향의 magnetization은 그림 오류입니다) 그리고 이때 spin Hall 효과로 인해 전기장에 수직으로 발생하는 스핀류와 그에 따른 스핀의 방향이 가질 수 있는 경우의 수를 오른쪽에 나열하였다. 전기장 E가 x방향으로 걸리는 경우만 고려했을 때 성립하는 대칭은 x축 180도 회전대칭, xz평면대칭, xy평면대칭 총 세가지이다. 그리고 그림 (a)에서 xz평면변환, xy평면변환, x축 180도 회전변환 전과 후에 system이 변하지 않는 경우는 오른쪽에서 두번째 밖에 없다. 다시 말해 4가지 케이스 중 오른쪽 두번째는 대칭성이 성립하는 경우이며, 나머지 세가지 경우는 대칭성이 깨진 경우이다. 그리고 이미 알고 있겠지만, 실제로 비자성체에서 전기장이 여기됐을때 발생 가능한 스핀류는 오른쪽에서 두번째이다. 여기서 알아두면 좋은 것이 Curie's symmetry principle이다.

The symmetries of the causes are to be found in the effects - Pierre Curie,

우리는 위에 말대로 경우의 수(spin Hall effect)들이 성립하는 대칭 중 전기장(cause)의 대칭과 맞는 경우만이 실제로 성립함을 봤다. 이 법칙을 이용하면, 대칭성 붕괴 유도(다른 말로 much less symmetry constraints)를 통해 더 다양한 경우의 수가 실제로 성립가능할것이 예측할 수 있다. 이는 위 그림에도 잘 나와있다.

그림(b)를 보자. 이제는 비자성체가 아닌, magnetization이 전기장과 같은 방향으로 걸려있는 자성체의 경우이다. 이때 성립하는 대칭은 x축 180도 회전대칭밖에 없다. 일반적으로 생각하기에 그림(a)와 마찬가지로 xz평면대칭, xy평면대칭도 가능할 것이라 착각할 수 있지만, 이는 magnetization이 pseudovector이기에 성립하지 않는다. Pseudovector는 쉽게 말해 두개의 서로 다른 vector의 cross product로 만들어진 vector이다. 이를 쉽게 이해하기 위해서는, pseudovector를 대칭시킬 때는 vector 그 자체를 보는 것이 아니라, vector를 중심으로 그리는 원형 고리를 생각하면 된다. 아래 그림을 보면 쉽게 이해된다.

researchgate.net/publication/340293083

위 그림에서 3D 화살표는 모두 pseudovector이며, 그 화살표를 축으로 회전하는 원형고리는 실제 벡터들의 외적 방향이다. mirror plane transformation을 하게 되면 고리의 방향이 앞에 두개는 변하지만 맨 마지막은 변하지 않는다. 결과적으로 그림 속 앞 두개는 mirror plane transformation에 대해 대칭이 깨진 형태이며, 맨 뒤에있는 경우만 대칭이 성립한다고 할 수 있다.

그럼 다시 그림 (b)로 돌아오자. xz 평면, 그리고 xy평면에 대한 mirror transformation은 x축으로 놓여있는 자화의 원형고리의 방향을 반대로 바꿀것이다. 결과적으로 transformation이후의 자화는 -x축을 바라볼 것이며 대칭은 깨진다. 그리고 이때 가능한 spin Hall effect의 경우의 수는 두가지다. 매우 놀랍게도, 스핀류의 방향과 스핀의 방향이 평행한 spin Hall effect도 가능하다는 것이다. 이를 anisotropic spin Hall effect라 하며 이에 대한 연구는 여러 연구진에 의해 진행되고 있다.

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해당 글은 Matter Modeling Stack Exchange에 올라온 질문을 번역한 글입니다.

Q)

TMDs는 두개의 원소 종류(metal과 chalcogen)로 이루어지며 3개의 atomic plane으로 구성됩니다. Honeycomb 모양 cell로 구성되는 hexagonal lattice는 3회 대칭(three fold symmetry)을 가지며 inversion symmetry, 그리고/ 혹은 mirror plane symmetry 또한 가질 수 있습니다.

Macroscopic bulk crystal, 좀 더 정확히 얘기하면, 심지어 few-layer 샘플에서도 crystal structure는 inversion center를 가집니다. 하지만 monolayer의 경우나 layer의 갯수가 홀수인 경우에는 inversion center가 존재할 수도 있지만 존재하지 않을 가능성도 배제할 수 없습니다.

왜 bilayer는 inversion symmetry를 가지며 trilayer, 또는 monolayer는 이를 가지지 않을까요?  어떻게 이해를 해야할까요?

 

A)

다른 방식으로 이해를 해 봅시다: monolayer에서 초록색 atom에 inversion center가 존재한다고 생각해보세요. 만약 inversion을 시킨다면, yellow atom에 의해 구성되는 삼각기둥이 방향이 바뀔것입니다. 그러니까, inversion center가 존재 할 수 없죠.

Bilayer의 inversion center는 layer의 사이입니다. 이 경우에 inversion을 시키면 삼각형 각기둥의 방향은 바뀌겠지만 layer도 동시에 바뀌게 되고, inversion이 문제없이 일어난다고 볼 수 있죠. Inversion center를 layer 사이에 놨두는 것만이 유일한 방법이고, 그렇기에 짝수개의 layer가 있을 때만 inversion을 시킬 수 있는 것입니다.