17.1. Transition Rates

Electromagnetic interaction에 의해 state를 전이하는 것을 radiative transition(=electric dipole transition) 이라 한다.

우리의 시작점은 전자 한개가 자기장이 존재하는 시스템에 있는 Hamiltonian이다.

이때 vector potential에 Coulomb gague를 고르면

위 항에서 두번째 항은 perturbation이며, 세번째 항은 매우 작은 perturbation이다. 우리는 이 perturbation을 이용하여 transition rate를 계산할 것이다.

 

Semiclassical Approximation

Coulomb gauge를 사용하는 경우, 맥스웰 방정식은, 아래와 같이 벡터포텐셜의 항으로 나타낼 수 있다.

만약 우리가 source로 부터 멀어진다면,

Then, we can write

 

Using this vector potential,

We choose coulomb gaguge. Then, 

이때 electromagnetic field의 energy density를 보면,

만약 우리가 시간에 대해 평균을 내면, oscillating term은 사라진다.

또한 Einstein notation을 이용하면,

So,

Then,

In semi-classical approx, $\vec{A}_o$: number 이므로,

If the radiation is enclosed in a volume V, then the total energy of the electromagnetic field is,

총 N개의 photon(각 energy는 $\hbar \omega$)이 있다고 하면,

$\vec{A}_o$의 방향은 전기장의 polarization에 의해 특정된다. 이 방향을 unit vector $\hat{\epsilon}$ (=polarization vector)로 정의하면, $\vec{k}\cdot \vec{A}_o =0$이므로, $\vec{k}$(=진행방향)의 수직인 방향으로 $\hat{\epsilon}$이 구성된다.

다음의 예를 들어 이해를 돕겠다.

Then, we can write

위의 식에서 two polarization states를 나타낼 수 있게끔 수정을 하면,