17.2) Calculation of matrix element

Photon을 양자역학적 프레임에서 보면, $\hat{A}$와 $\hat{A}^{\dagger}$는 operator이다. 이는 Hamiltonian operator의 raising/lowering operator처럼 작동한다.

N이 무한대로 갈 경우, semi-classical limit

이제 매우 특별한 경우를 예로 들어보자.

• Initial state: $\left| \phi_n \right>$ (excited with no photon)
• Final state: $\left| \phi_m \right>$ (lower than n, emission of a single photon)

위의 경우, initial state에서 photon이 한개도 없으므로, initial photon state = $\left| 0 \right>$

Then,

17.1)서 정의하기를,

위 식에 대입하면 ( $e^{i \omega t)$는 빠진다.)

Electron dipole approximation ( $e^{- i \vec{k}\cdot \vec{r}} \equiv 1$) 을 이용하고, 아래의 내적을 아래와 같이 전개하면,

이때 $\left( -E_m^{(0)*} + E_n^{(0)} \right) = \hbar \omega$ 이므로,

다시 계산으로 돌아가서

 

Selection rule은 angular part가 결정. 즉, angular momentum conservation과 연관되어 있다.