Wavepacket (파속) in Quantum Mechanics

참고문헌

(1) 스핀류와 위상학절 절연체
(2) chat GPT

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Wavepacket은 파동성을 띄는 물체로서, 공간상의 양자 입자의 위치에 대한 probability distribution을 기술한다. Wavepacket은 서로 다른 파장과 진폭을 가지는 평면파들의 superposition이며 서로가 간섭하여 국소화된 wavepacket을 만들어낸다.

입자를 한번 상상해보자, 예를 들면 전자로 하겠다. 이 전자는 initially 넓은 영역에 걸쳐 퍼져 나간다. 만약 우리가 이 전자의 위치를 측정하고자 한다면, 결과는 Heisenberg 불확정성 원리에 의해 한 point로 특정되는 못한다. 하지만 우리는 wavepacket을 구성함으로써 공간상의 특정 위치에서 입자를 찾을 확률은 기술할 수 있다. 이 wavepacekt은 유한한 사이즈를 가질 것이고, 시간이 흐름에 따라 wavepacket을 구성하는 파동들이 서로 다른 속력으로 전파 해나갈 것이다.

Wavepacket의 모양과 크기는 입자의 initial condition에 결정되는데, 여기서 initial condition이라 하면 position, momentum 그리고 이 입자가 움직이는 potential energy의 landscape 정도가 될 것이다. 또한 계가 어떻게 구성되어있냐에 따라 wavepacket은 시간의 흐름에 따라 퍼져나갈 수도 있고 오히려 수축할 수도 있다.

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또한 이 wavepacket의 움직임을 real space가 아닌 k space에서 이야기 할 수 있다. k space속 wavepacket의 모양은 위 그림에서 처럼 특정 wavenumber를 중심으로 하는 Gaussian like shape을 가지고 있다. 또한 propagation은 다음과 같이 설명할 수 있다.

중심 wavenumber와 가까운, 또 다른 wavenumber를 가지는 Bloch wave를 중복하여 생성하고 이것들의 간섬에 의해 wave packet의 새로운 중시위치가 결정된다.

이때 전기장을 가하면, $ \hbar \vec{k} = -e\vec{E} $식에 의해 wavenumber가 변하는데, 이떄 Bloch wave가 얻는 위상은 wavenumber에 의해 달라지고 발생하는 위상차는 Berry curvature $ \vec{B}_{n}(\vec{k})$로 기술된다. 이 위상차는 위에서 언급한 Bloch wave들의 간섭에 영향을 미쳐 wave packet 중심좌표의 변화를 일으킨다.

즉, 파동성과 연관 있다고 볼 수 있다.