Harmonic Hall Technique

VII. HARMONIC HALL TECHNIQUE

AC harmonic Hall technique(종종 줄여서 harmonic technique 라고도 불린다)는 현재 이 글을 쓰고있는 현재 자성학계에서 SOT를 구하는데 가장 대중적으로 사용되고 있는 방법이다. 낮은 주파수에서의 손쉬운 AC 측정과, 쉬운 샘플 준비, 그리고 DL, FL 토크에 대한 쉬운 평가 방법 등등 수많은 이점이 존재하기 때문이다. 

샘플은 일반적으로 SH/FM bilayer로 구성되며 micrometer의 사이즈를 가진다. 외부 자기장과 교류전류가 hall bar에 주어지며 first harmonic response와 second harmonic response를 읽어낼 수 있다. 이 AC signal에 대한 생성과 detection은 일반적인 lock-in amplifer를 통해 얻어질 수 있다. 

적절하게 외부 자기장의 세기와 방향을 변화시키고 Hall voltage response를 분석함으로써, DL torque와 FL torque에 의해 유도되는 longitudinal, transverse effective field를 추출해 낼 수 있다. 또한 이를 변환시켜 ST efficiency도 구할 수 있다.

이 harmonic Hall technique의 어려움은, 수많은 magnetoresistacne 뿐만 아니라 SOT와 함께 발생하는 thermoelectric effect들을 분리시키는 작업일 것이다.

SOT를 정량화시키기 위한 harmonic approach는 Pi et al에서 처음 소개되었다. 여기서 우리는 단순하면서도 더 자주 사용되는 방법(Kim et al에 의해 처음 제안되었고, Hayashi et al에 의해 발전된 방법)을 기술하고자 한다.

해당 버젼은 샘플 내에서 발생하는 DL SOT, FL SOT, AHE, PHE를 고려한다. 외부 자기장은 longitudinal axis와 transverse axis를 sweep 하며, 이때 first harmonic $V_{\omega}$와 second harmonic $V_{2\omega}$를 lock-in amplifier를 통해 읽게 된다. 

자화 방향이 샘플 면에 수직에 가깝게 유지되는 PMA sample의 경우, $V_{\omega}$는 외부 자기장 $H_{ext}$에 대해 코사인 함수의 형태를 가지며 변화할 것으로 예상 할 수 있으며, $H_{ext} = 0$에 근접한 부분에서는 아래의 curvature를 가지며 2차함수 꼴과 유사한 형태로 approx 할 수 있다.

그리고 $V_{2\omega}$의 경우 $H_{ext}$와 linear하게, 아래의 기울기를 가지며 Fig.7과 같이 움직일 것으로 예상된다.

 

DL effective field는 아래와 같이 계산될 수 있다. 여기서 FL field는 아래 식에서 단순히 subscript의 기호를 L <-> T로 바꾸면 가능하다. constant p는 PHE와 AHE 저항의 비율이며, xy- 와 xz- plane에 회전하는 applied field를 통해 측정이 가능하다.

이 harmonic technique가 가지는 단순함과 가격효율성은 SOT를 측정하는데 있어 가장 유명하게 끔 만들어준 이유이다. The uncertainty of the results comes from usual sources that are required for a good HDL/FL to ξDL/FL conversion via Eq. (3): the FM’s magnetization Ms, thickness tFM, and dead layer, and the shunted current density in the SOT layer je.

하지만, p에 대해 해결하지 못할 문제도 남아있다. 현재까지 조사된 대부분의 SH/FM bilayer에서, p는 대부분이 매우 작은 값을 가진다(<0.1). 몇몇의 경우, 특히 Pt/Co에서는, 0.3까지 커질 수도 있으며 결과적으로 $\tau_{DL}$은 p=0으로 가정했을 때보다 두배 이상 더 커질것이다. 

현재의 경우 p 값을 고려할지 말지, 고려한다면 어떻게 고려해야 할지에 대한 일치하는 견해는 존재하지 않지만, 지금으로선 p가 충분히 작아 큰 영향을 끼치지 않을 때 harmonic technique를 쓰는것이 권장되고 있다. 

이 방법의 derivation에 대한 기술적인 표현법은 오직 magnetization vector의 variation이 작을때만 유효하다는 것을 명심하자. 또한 PMA와 비교했을 때, in-plane anisotropy값이 negligible할 때만 유효하다는 것을 염두해 두자.

예를 들어, 인가되는 자기장이 너무 강력하여, anisotropy field에 의해 발생하는 본래의  magnetization을 film normal에서 빗겨나가게 한다면, first harmonic response $V_{\omega}$와 second harmonic response $V_{2\omega}$는 더 이상 작용하는 자기장 값에 각각 quadratic 하거나 linear하지 않다. 

여러 연구들이 이 이슈에 대응하기 위해 더 포괄적인 이론들을 개발하였는데, Garello et al, Shculz et al의 논문이 그러하다. 

Harmonic Hall voltage 방법은 또한 SH/FMI bilayer device에도 적용 될 수 있는데, 이때 FMI는 PMA를 가지는 ferrimagnetic insulaotr이다(예를 들어, TmIG, etc..). 하지만, 해당 시스템에서의 Hall signal은 주로 PHE-like, AHE-like SMR에서 나오기 때문에, fitting protocol은 SH/FM case와는 다르게 $\tau_{DL/FL}$을 추출하기 위해 적용된다.

또한, harmonic Hall voltage 방법은 PMA를 가지는 샘플에만 국한되지 않는다. 비록 자주 쓰이는 방법은 아니지만, in-plane 자화를 가지는 샘플에 대한 빈틈없는 연구를 통해, DL torque, FL torque, 그리고 thermoelectric effects(ANE)에서 harmonic Hall voltage를 추출하는 연구가 Avci et al에서 이루어졌다.

Fig. 8(a)에서 보이는 것과 같이, $H_{ext}$는 xy plane내에서 회전하는 360° sweep을 하며, 이를 통해 second harmonic voltage $V_{2\omega}(\phi)$의 angle dependence를 얻을 수 있으며, 아래와 같은 식으로 fitting 할 수 있다.

to extract the $cos \phi $ dependent term (from HDL and ANE) and the  $ 2cos^{3}\phi - cos \phi $ dependent term (from HFL and the Oersted field HOe). Next, $H_{DL} $ (with VANE) and HFL (with HOe) can be estimated from the linear fits of Hext-dependent results of above-mentioned terms, as shown in Fig. 8(b), from which $\tau_{DL/FL}$ can be further calculated ( $V_{AHE} $ and $V_{PHE} $ are the first harmonic AHE and PHE voltages, respectively).

VIII. HYSTERESIS LOOP SHIFT